Algebra II

Vorlesung im Wintersemester 2005 an der Technischen Universität Berlin.
Auf dieser Seite werden im Lauf der VL relevante Informationen zur Verfügung gestellt.

Dozenten: Prof. Dr. F. Heß, Dipl.-Math. M. Wagner

Übersicht:

Zeiten und Adressen

Vorlesung:	Di 10-12 im MA313 und Do 10-12 im MA544
Übung:	Mi 14-16 im MA645

Sprechzeiten: F. Heß nach der Vorlesung (und dem Mittagessen) und nach Vereinbarung, M. Wagner Mo 14-16 im MA812.

F. Heß	hess@math.tu-berlin.de	314-25062	MA804
M. Wagner	wagner@math.tu-berlin.de	314-23761	MA812
Teilnehmer der VL Algebra II	algebra2@math.tu-berlin.de

Inhalt

Der erste Teil der VL behandelt Körper, Körpererweiterungen und Galoistheorie, welche eine Verbindung der Gruppentheorie und der Körpertheorie zum Inhalt hat. Der zweite Teil der VL beschäftigt sich mit Dedekindringen, Bewertungen, etwas Modultheorie, Ringerweiterungen, ganzalgebraischen Abschlüssen. Im dritten Teil der VL werden algebraische Kurven einführend behandelt (abhängig davon, wieviel Zeit verbleibt). Die Stoffauswahl orientiert sich an den benötigten Grundlagen für die Vertiefungsrichtungen Zahlentheorie, kurvenbasierte Kryptographie und Codierungstheorie.

Skript und Übungsblätter

Unterlagen zur Vorlesung: Skript, erster Teil (ps, pdf). Skript, zweiter Teil (ps, pdf) Skript, alles zuammen (ps, pdf)
Übungsblätter zur Vorlesung:
Blatt 1 (Abgabe: 26.10.05. ps, pdf)
Blatt 2 (Abgabe: 02.11.05. ps, pdf)
Blatt 3 (Abgabe: 09.11.05. ps, pdf) Die KASH3-Datei Hom.g für die praktische Aufgabe Hom.g
Blatt 4 (Abgabe: 16.11.05. ps, pdf)
Blatt 5 (Abgabe: 23.11.05. ps, pdf) Die KASH3-Datei Faktorisierung.g für die praktische Aufgabe Faktorisierung.g
Blatt 6 (Abgabe: 30.11.05. ps, pdf)
Blatt 7 (Abgabe: 7.12.05. ps, pdf)
Blatt 8 (Abgabe: 14.12.05. ps, pdf)
Blatt 9 (Abgabe: 4.1.06. ps, pdf)
Blatt 10 (Abgabe: 11.1.06. ps, pdf)
Blatt 11 (Abgabe: 18.1.06. ps, pdf)
Blatt 12 (Abgabe: 25.1.06. ps, pdf)
Blatt 13 (Abgabe: 1.2.06. ps, pdf)
Blatt 14 (Abgabe: 8.2.06. ps, pdf)

Vorlesungskalendar

18.10. Organisatorisches. Körpererweiterungen, Gradsatz, Adjunktion.
20.10. Algebraische und transzendente Erweiterungen, endlich erzeugte und einfache Erweiterungen, primitive Elemente. Grundlegende Eigenschaften.
25.10. Adjunktion beliebiger Mengen algebraischer Elemente, algebraischer Abschluß innerhalb eines Körpers. "Algebraisch" und "endlich" in mehrfachen Körpererweiterungen, Translationen, Komposita und Schnitten. Linear disjunkte Körpererweiterungen und Eigenschaften. Satz von Kronecker, Zerfällungskörper, Existenz des Zerfällungskörpers eines Polynoms.
26.10. Existenz algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von Körpern (algebraischer Abschluß) und des Zerfällungskörpers beliebiger Mengen von Polynomen. Homomorphismen zwischen Körpern, Fortsetzungen auf einfache Erweiterungen.
01.11. Homomorphismen zwischen Körpern, Fortsetzungen auf algebraische Erweiterungen, Isomorphie von Zerfällungskörpern und algebraischen Abschlüssen. Normale Erweiterungen. Normalitätskriterium.
03.11. "Normal" in Translationen, Komposita und Schnitten. Normale Hülle. Separable Polynome und Erweiterungen. Separabilitätsgrad. Charakterisierung einfacher, separabler Erweiterungen.
08.11. Multiplikativität des Separabilitätsgrads auf Körpererweiterungen. Separabilitätskriterium. "Separabel" in mehrfachen Körpererweiterungen, Translationen, Komposita und Schnitten. Separabler Abschluß. Satz vom primitiven Element.
10.11. Inseparable Erweiterungen (in Analogie zu separablen Erweiterungen).
15.11. Endliche Körper.
17.11. Kreisteilungskörper.
22.11. Charakteristisches Polynom, Norm und Spur mittels linearer Algebra.
24.11. Charakteristisches Polynom, Norm und Spur mittels Homomorphismen. Anfang Galoistheorie. Definition der Abbildungen G und F. Hauptsatz der Galoistheorie erster Teil.
29.11. Hauptsatz der Galoistheorie zweiter Teil. Äquivalente Definitionen von "galoissch". Beziehungen zwischen Schnitten und Komposita von Zwischenkörpern und den entsprechenden Gruppen.
01.12. Hauptsatz der Galoistheorie dritter Teil. Beziehungen von Galoisgruppen unter Translation und für Komposita.
06.12. Galoisgruppen spezieller Körpererweiterungen, Galoisgruppen von Polynomen und Permutationsdarstellungen.
08.12. Galoisgruppen von Polynomen und Permutationsdarstellungen. Symmetrische Polynome und das Umkehrproblem der Galoistheorie.
13.12. Diskriminantenkriterium zur Unterscheidung von S3 und A3. Lineare Unabhängigkeit von Charakteren. Grobe Idee der Galoisgruppenberechnung.

Hier ist das Gitter der ungeraden transitiven Permutationsgruppen in der S16 (ps,pdf). Zwei Gruppen G und H sind durch einen Pfeil verbunden, wenn (eine Konjugierte von) H maximale Untergruppe in G ist. Die linke Gerade gibt die Gruppenordnungen in der jeweiligen Zeile an. Die Gruppen sind mit Ihrer T-Nummer angegeben, S16 ist zum Beispiel gleich T1954. Der Algorithmus fängt oben bei der S16 an und geht rekursiv wie folgt vor. Befinden wir uns auf einer Gruppe G, so wird für jeden Abstieg in eine kleinere Gruppe getestet, ob dieser möglich ist. Wenn ja, wird abgestiegen und rekursiv weitergemacht. Wenn kein Abstieg in eine Untergruppe von G möglich ist, dann ist die zu berechnende Galoisgruppe gleich G.
15.12. Satz von der Normalbasis. Radikalerweiterungen, auflösbare Gruppen. Auflösbarkeit von Polynomen vom Grad kleiner gleich 4 und Nichtauflösbarkeit des allgemeinen Polynoms vom Grad größer gleich 5.
03.01. Allgemeine Kummertheorie. Erster Satz.
05.01. Allgemeine Kummertheorie. Hauptsatz und Satz Hilbert 90.
10.01. Eine Anwendung in der Kryptographie (XTR).
12.01. Transzendente Körpererweiterungen, Existenz von Transzendenzbasen.
17.01. Separable und reguläre Erweiterungen. Beispiele.
19.01. Kategorientheorie.
24.01. Tensorprodukt von Moduln.
26.01. Tensorprodukt von Moduln, induzierte Moduln.
31.01. Lokalisierung von Moduln.
02.02. Flache Moduln. Projektive Moduln.
07.02. Vergleich der Moduleigenschaften. Gebrochene und invertierbare Ideale.
09.02. Eindeutige Faktorisierung in Primideale. Lokalisierung von gebrochenen und invertierbaren Idealen.
14.02. Lokale Charakterisierung von invertierbaren Idealen und Dedekindringen. Ganze Ringerweiterungen.
16.02. Lokalisierung ganzer Ringerweiterungen. Globale Charakterisierung von Dedekindringen.

Scheinmodalitäten

Gruppenarbeit in Zweiergruppen. Scheinkriterium sind 40% der erreichbaren Punkte in jeder Semesterhälfte. Die Abgabe der praktischen Aufgaben hat am selben Tag zu erfolgen wie die Übungsaufgaben. Ist ein Programm gefragt, so wird ein lauffähiges Programm verlangt, das als Attachment per Mail an wagner@math.tu-berlin.de geschickt wird.

Für Informatiker, welche die VL als Wahlfach hören wollen, setzt sich die prüfungsrelevante Studienleistung aus den erreichten Punkten der wöchentlichen Übungsaufgaben und einer mündlichen Prüfung am Ende der VL zusammen.

ERASMUS Studenten beachten bitte, daß die oben genannten Scheinkriterien dem Bestehen der Vorlesung mit Note "ausreichend" gleichkommen. Weniger Punkte bzw. kein Schein bedeuten, daß die Vorlesung nicht bestanden wurde.

Weitere Informationen

Bibliographie:

Hier ist eine Auswahl an Büchern, welche für die VL relevanten Stoff beinhalten. Die Bücher von Bosch und Lorenz passen in ihrer Gesamtheit am besten zur VL.

S. Bosch, Algebra.

G. Fischer und R. Sacher, Einführung in die Algebra.

S. Lang, Algebra.

F. Lorenz, Einführung in die Algebra Teil I.

K. Meyberg, Algebra Teil 2.

Fortsetzung:

Im Anschluß an diese VL werden im Sommersemester 2006 planmäßig folgende Veranstaltungen angeboten: Algebraische Kurven, Codierungstheorie, Seminar.