Algebra II

Vorlesung im Wintersemester 2007 an der Technischen Universität Berlin.
Auf dieser Seite werden im Lauf der VL relevante Informationen zur Verfügung gestellt.

Dozenten: Prof. Dr. F. Heß, Dipl.-Math. M. Wagner

Übersicht:

Inhalt

Der erste Teil der VL behandelt Körper, Körpererweiterungen und Galoistheorie, welche eine Verbindung der Gruppentheorie und der Körpertheorie zum Inhalt hat. Der zweite Teil der VL beschäftigt sich mit Dedekindringen, Bewertungen, etwas Modultheorie, Ringerweiterungen, ganzalgebraischen Abschlüssen. Im dritten Teil der VL werden kommutative Algebra und algebraische Kurven einführend behandelt (abhängig davon, wieviel Zeit verbleibt). Die Stoffauswahl orientiert sich an den benötigten Grundlagen für die Vertiefungsrichtungen Zahlentheorie, kurvenbasierte Kryptographie und Codierungstheorie.

Zeiten und Adressen

Vorlesung:		Di 12-14 im H2038 und Do 12-14 im MA143
Übung:		Mi 10-12 im MA851 Die Übung beginnt um genau 10 Uhr

Achtung: Die Sprechstunde ist Dienstags von 15-17 Uhr

Sprechzeiten: F. Heß nach der Vorlesung und nach Vereinbarung, M. Wagner: Di 15-17 , MA812

F. Heß	MA804	314-25062
M. Wagner	MA812	314-23761

Unsere email-Adressen beginnen mit unseren Nachnamen gefolgt von dem Suffix: @math.tu-berlin.de. Bei Heß muss das ß durch ein ss ersetzt werden. Für die Vorlesung besteht die email-Adresse aus algebra2 und dem Suffix @math.tu-berlin.de.

Scheinmodalitäten

Gruppenarbeit in Zweier-Gruppen. Scheinkriterium: 50% der erreichbaren Punkte in jeder Semesterhälfte. Die Abgabe der praktischen Aufgaben hat am selben Tag zu erfolgen wie die Übungsaufgaben. Ist ein Kash-Programm gefragt, so wird ein lauffähiges Kash-Programm verlangt, das als Attachment per Mail an M. Wagner geschickt wird.

ERASMUS Studenten beachten bitte, daß die oben genannten Scheinkriterien dem Bestehen der Vorlesung mit Note "ausreichend" gleichkommen. Weniger Punkte bzw. kein Schein bedeuten, daß die Vorlesung nicht bestanden wurde. Bitte auch zum Anfang der VL bei F. Heß melden!

Für Informatiker, welche die VL als Wahlfach hören wollen, setzt sich die prüfungsrelevante Studienleistung aus den erreichten Punkten der wöchentlichen Übungsaufgaben und einer mündlichen Prüfung am Ende der VL zusammen.

Weitere Informationen

Bibliographie:

Hier ist eine Auswahl an Büchern, welche für die VL relevanten Stoff beinhalten. Die Bücher von Bosch und Lorenz passen in ihrer Gesamtheit am besten zur VL.

S. Bosch, Algebra.

G. Fischer und R. Sacher, Einführung in die Algebra.

S. Lang, Algebra.

F. Lorenz, Einführung in die Algebra Teil I.

K. Meyberg, Algebra Teil 2.

Fortsetzung:

Im Anschluß an diese VL werden im Sommersemester 2008 planmäßig folgende Veranstaltungen angeboten: Zahlentheorie, Codierungstheorie, weitere VL, Seminar.

Vorlesungskalendar

16.10. Beginn der VL. Organisatorisches. Körpererweiterungen, Gradsatz, Adjunktion. Algebraische und transzendente Erweiterungen, endlich erzeugte und einfache Erweiterungen, primitive Elemente. Grundlegende Eigenschaften.
18.10. Adjunktion beliebiger Mengen algebraischer Elemente, algebraischer Abschluß innerhalb eines Körpers. "Algebraisch" und "endlich" in mehrfachen Körpererweiterungen, Translationen, Komposita und Schnitten.
23.10. Linear disjunkte Körpererweiterungen und Eigenschaften. Satz von Kronecker, Zerfällungskörper, Existenz des Zerfällungskörpers eines Polynoms und Existenz algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von Körpern (algebraischer Abschluß).
25.10. Nachtrag und Beispiele zum 23.10. Homomorphismen zwischen Körpern, Fortsetzungen auf einfache und algebraische Erweiterungen. Isomorphie von Zerfällungskörpern und algebraischen Abschlüssen.
30.10. Nachtrag zum 25.10. Normale Erweiterungen. Normalitätskriterium.
1.11. "Normal" in Translationen, Komposita und Schnitten, normale Hülle. Separable Polynome.
6.11. Separable Erweiterungen. Separabilitätsgrad. Charakterisierung einfacher, separabler Erweiterungen. Separabilitätskriterium. "Separabel" in mehrfachen Körpererweiterungen, Translationen, Komposita und Schnitten.
8.11. Separabler Abschluß. Satz vom primitiven Element. Rein inseparable Erweiterungen.
13.11. Rein inseparable Erweiterungen (in Analogie zu separablen Erweiterungen). Vollkommene Körper. Beziehungen zwischen normal, separabel, rein inseparabel.
15.11. Endliche Körper. Kreisteilungskörper.
20.11. Charakteristisches Polynom, Norm und Spur mittels linearer Algebra.
22.11. Charakteristisches Polynom, Norm und Spur mittels mittels Homomorphismen.
27.11. Anfang Galoistheorie. Definition der Abbildungen G und F. Hauptsatz der Galoistheorie erster Teil. Hauptsatz der Galoistheorie zweiter Teil.
29.11. Galoisgruppen von Komposita und Schnitten. Hauptsatz der Galoistheorie dritter Teil.
4.12. Translationssatz, Beispiele. Galoisgruppen spezieller Körpererweiterungen.
6.12. Permutationsdarstellung von Galoisgruppen, Galoisgruppen von Polynomen. Beispiele.
11.12. Symmetrische Funktionen und Galoisgruppe des allgemeinen Polynoms. Indikatorfunktionen von transitiven Permutationsgruppen. Grundidee des Verfahrens von Stauduhar zur Berechnung von Galoisgruppen. Diskriminantenkriterium für gerade und ungerade Permutationsgruppen.

Hier ist das Gitter der ungeraden transitiven Permutationsgruppen in der S16 (pdf). Zwei Gruppen G und H sind durch einen Pfeil verbunden, wenn (eine Konjugierte von) H maximale Untergruppe in G ist. Die linke Gerade gibt die Gruppenordnungen in der jeweiligen Zeile an. Die Gruppen sind mit Ihrer T-Nummer angegeben, S16 ist zum Beispiel gleich T1954. Der Algorithmus fängt oben bei der S16 an und geht rekursiv wie folgt vor. Befinden wir uns auf einer Gruppe G, so wird für jeden Abstieg in eine kleinere Gruppe getestet, ob dieser möglich ist. Wenn ja, wird abgestiegen und rekursiv weitergemacht. Wenn kein Abstieg in eine Untergruppe von G möglich ist, dann ist die zu berechnende Galoisgruppe gleich G.
13.12. Bemerkungen zum Umkehrproblem der Galoistheorie. Reduktionsprinzip der Galoistheorie (aka van der Waerden oder Frobenius Kriterium. Bemerkungen zum Satz von Tschebotarev). Lineare Unabhängigkeit von Charakteren. Satz von der Normalbasis.
18.12. Satz von der Normalbasis. Radikalerweiterungen, auflösbare Gruppen.
20.12. Radikalerweiterungen, auflösbare Gruppen. Auflösbarkeit von Polynomen vom Grad kleiner gleich 4 und Nichtauflösbarkeit des allgemeinen Polynoms vom Grad größer gleich 5.
8.1. Satz Hilbert 90 und Anwendungen. Allgemeine Kummertheorie.
10.1. Allgemeine Kummertheorie. Hauptsatz, Anwendungen. Transzendente Erweiterungen, Existenz von Transzendenzbasen.
15.1. Weitere Aussagen über Transzendenzbasen. Separable und reguläre Erweiterungen.
17.1. Beispiele von transzendenten Körpererweiterungen. Motivation für die Untersuchung von Faktorisierungen in Ringen: Kummers 'Beweis' des Fermatschen Satzes, Nullstellen und Pole algebraischer Funktionen. Elementare Begriffe aus der Kategorientheorie. Wiederholung der Lokalisierung von Ringen (pdf). Lokalisierungen von Moduln.
22.1. Eigenschaften der Lokalisierung von Moduln und Homomorphismen. Lokal-global Aussagen.
24.1. Freie und projektive Moduln. Satz von Cayley-Hamilton und Lemma von Nakayama.
29.1. Lokal-globale Charakteristierung projektiver Moduln als lokal freie Moduln.
31.1. Ergänzungen. Gebrochene und invertierbare Ideale. Eindeutige Primidealfaktorisierung. Dedekindringe.
5.2. Lokalisierung von invertierbaren Idealen. Lokale Charakterisierung von invertierbaren Idealen und Dedekindringen.
7.2. Ganze Ringerweiterungen. Lokalisierung ganzer Ringerweiterungen.
12.2. Globale Charakterisierung von Dedekindringen.
14.2. Beispiele, glatte Punkte auf ebenen algebraischen Kurven, reguläre lokale Ringe.

Skript, Übungsblätter, Programme und weitere Unterlagen

Unterlagen zur Vorlesung und zur Übung: Skript (pdf), Skript Algebra I + II (pdf).

Übungsblätter zur Vorlesung: 1. Blatt (Abgabe: 24.10.07) (pdf) 2. Blatt (Abgabe: 31.10.07) (pdf) 3. Blatt (Abgabe: 07.11.07) (pdf) 4. Blatt (Abgabe: 14.11.07) (pdf) 5. Blatt (Abgabe: 21.11.07) (pdf) 6. Blatt (Abgabe: 28.11.07) (pdf) 7. Blatt (Abgabe: 05.12.07) (pdf) 8. Blatt (Abgabe: 12.12.07) (pdf) 9. Blatt (Abgabe: 19.12.07) (pdf) 10. Blatt (Abgabe: 09.01.08) (pdf) 11. Blatt (Abgabe: 16.01.08) (pdf) 12. Blatt (Abgabe: 23.01.08) (pdf) 13. Blatt (Abgabe: 30.01.08) (pdf) 14. Blatt (Abgabe: 06.02.08) (pdf)

Einführung in KASH3: (pdf)
Datei Hom.k für die praktische Aufgabe