Vorlesung im Sommersemester 2009 an der Technischen Universität Berlin.
Auf dieser Seite werden im Lauf der VL relevante Informationen
zur Verfügung gestellt.
Dozenten: Prof. Dr. F. Heß, Dipl.-Math. G. Möhlmann
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie der Gruppen, Ringe und
Moduln.
Relativ einfache Gruppen werden
durch die Addition in Vektorräumen oder die Addition und
Multiplikation in Körpern wie den reellen Zahlen gegeben. Kompliziertere
Gruppen treten bei der Untersuchung algebraischer und geometrischer Objekte
auf, beispielsweise in
Form von Symmetrien. Die Betrachtung dieser Gruppen liefert dann
Rückschlüsse auf die zu untersuchenden algebraischen und
geometrischen Objekte.
Ringe sind vereinfacht gesagt Körper, in denen nicht
jedes Element ungleich Null notwendigerweise ein multiplikatives
Inverses besitzt. Die ganzen Zahlen bilden hier ein grundlegendes Beispiel.
In der Zahlentheorie untersucht man dann unter anderem Ringe verallgemeinerter
ganzer Zahlen, und in der (algebraischen) Geometrie zum Beispiel Ringe von
Funktionen. Beispiele nicht kommutativer Ringe sind Endomorphismenringe von
Vektorräumen oder, anders ausgedrückt, Matrixringe mit
Matrixaddition und -multiplikation. Diese treten wiederum bei der Untersuchung
von Gruppen auf.
Moduln sind vereinfacht gesagt Vektorräume über Ringen. Die
Behandlung von Moduln ist daher eine Verallgemeinerung der linearen Algebra,
wobei nun auch die Eigenschaften des zugrundeliegenden Rings verstärkt in
die Behandlung eingeht. Moduln treten im Prinzip immer auch da auf, wo ihre
Ringe betrachtet werden. Eine schöne Anwendung von Moduln
über Hauptidealringen
ist zum Beispiel die Jordannormalform.
Gruppenarbeit in Zweier-Gruppen.
Scheinkriterium: 50% der erreichbaren Punkte in jeder Semesterhälfte.
Die Abgabe der praktischen Aufgaben hat am selben Tag zu erfolgen
wie die Übungsaufgaben. Ist ein Kash-Programm gefragt,
so wird ein lauffähiges
Kash-Programm verlangt, das als Attachment per Mail an
G. Möhlmann geschickt wird.
ERASMUS Studenten beachten bitte, daß die oben genannten Scheinkriterien
dem Bestehen der Vorlesung mit Note "ausreichend" gleichkommen. Weniger Punkte
bzw. kein Schein bedeuten, daß die Vorlesung nicht bestanden wurde.
Für Informatiker, welche die VL als Wahlfach hören wollen, setzt sich
die prüfungsrelevante Studienleistung aus den erreichten Punkten der
wöchentlichen Übungsaufgaben und einer mündlichen
Prüfung am Ende der VL zusammen.
Es gibt sehr viele Lehrbücher über Algebra. Im
Sinn der VL siehe zum Beispiel Meyberg, Algebra Teil I und Fischer-Sacher,
Einführung in die Algebra. Weitere Bücher sind Bosch, Algebra; Lang,
Algebra; Lorenz, Einführung in die Algebra I; usw. Das Buch von Lorenz
verfolgt allerdings einen etwas anderen Aufbau als die VL. Neben der
Mathematikbibliothek sollte auch die Hauptbibliothek/Lehrbuchsammlung das ein
oder andere Buch vorrätig haben.
Fortsetzung:
Im Anschluß an diese VL werden im Wintersemester
2009 folgende Veranstaltungen
angeboten: Algebra II (Fortsetzung der Algebra I).
16.4. Beginn der VL. Organisatorisches. Allgemeine Bemerkungen zur
Algebra. Verknüpfungen, Halbgruppen, Homomorphismen. Neutrale Elemente,
Monoide, inverse Elemente.
17.4. Kürzungsregel. Gebräuchliche Notation.
Gruppen. Untergruppen, von Mengen erzeugte Untergruppen.
23.4. Ordnung von Elementen, Exponenten von
Gruppen. Nebenklassen, Index, Satz von Lagrange, kleiner Satz von Fermat.
24.4. Normalteiler und Eigenschaften, Homomorphismen und Eigenschaften.
30.4. Vergleich der Untergruppengitter unter einem Epimorphismus.
Faktorgruppen, Homomorphiesatz und Isomorphiesätze.
1.5. Feiertag
7.5. Zyklische Gruppen. Direkte Produkte.
8.5. Semidirekte Produkte.
14.5. Operationen von Gruppen auf Mengen.
15.5. Erster Satz von Sylow, Satz von Cauchy.
20.5. Feiertag
21.5. Zweiter Satz von Sylow. Anwendungen der bisherigen
Theorie auf die Klassifikation endlicher Gruppen bis Grad 15.
27.5. Grundlagen zu Ringen. Ideale. Homomorphismen.
28.5. Faktorringe. Homomorphiesatz und Isomorphiesätze. Nullteiler.
4.6. Direkte Produkte von Ringen, Zerlegung des Einselements in
orthogonale Idempotente. Einheitengruppen in direkten Produkten.
Chinesischer Restsatz und Beispiel.
5.6. Chinesischer Restsatz Beweis und Beispiele.
11.6. Charakteristik und Primringe. Noethersche Ringe. Maximale Ideale.
12.6. Primideale und Integritätsringe. Teilbarkeit in
Integritätsringen.
26.6. Lokalisierung weitere Eigenschaften und Beispiele.
Quotientenkörper.
2.7. Polynomringe. Grundlegene Definitionen und Eigenschaften.
Einsetzhomomorphismus, Polynomdivision,
Polynomeringe über Körpern, Nullstellen von Polynomen.
3.7. Nullstellen von Polynomen und Anwendungen.
Basissatz von Hilbert, Gaußsche Bewertungen,
Lemma von Gauß.
9.7. Lemma von Gauß, Satz von Gauß, Beweise und Beispiele.
10.7. Multivariate Polynomringe, symmetrische Polynome, Diskriminanten
und Resultanten, Potenzreihen-, Laurentreihen- und Gruppenringe.
14.7. Moduln (Vorlesung anstelle der Übung). Aussagen für
noethersche Moduln.
16.7. Matrizen über Ringen, Cramersche Regel, Pseudoinverse.
Smith Normalform. Hauptsatz für endlich erzeugte Moduln
über Hauptidealringen.
17.7. Anwendungen auf abelsche Gruppen und Matrixnormalformen
(Jordan Normalform).