Differentialgleichungen I
Wintersemester 2008/09Anwendungen
und elementare Lösungstechniken für gewöhnliche und
partielle
Differentialgleichungen; Anfangswertprobleme für gewöhnliche
Differentialgleichungen: Existenz, Einzigkeit, stetige
Abhängigkeit von den Daten
und Stabilität, lineare Systeme, Differentialgleichungen im
Banach-Raum;
Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter
Ordnung:
klassische Lösbarkeit linearer und semilinearer Probleme,
Greensche
Funktion, Maximumprinzip und Stabilität; Fixpunktprinzipien
Vorlesung | Di | 14 - 16 Uhr | MA 004 | Priv.-Doz. Dr. Etienne Emmrich |
Mi | 12 - 14 Uhr | MA 005 | ||
Übung | Mi | 16 - 18 Uhr | MA 043 | Priv.-Doz. Dr. Etienne Emmrich |
Tutorien | Do | 12 - 14 Uhr |
MA 651 |
Saskia Aßmann |
Do | 14 - 16 Uhr | MA 651 | Saskia Aßmann | |
Fr | 12 - 14 Uhr | MA 651 | Dario Götz |
|
Fr | 14 - 16 Uhr | MA 651 | Dario Götz | |
Sprechzeiten | n. V. |
MA 367 |
Priv.-Doz. Dr. Etienne Emmrich |
|
Di |
12 - 14 Uhr |
MA 366 |
Saskia Aßmann | |
Di | 16 - 18 Uhr | MA 366 | Dario Götz | |
Sekretariat MA 3-3 | MA 370 | Frau Twilling |
Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de
Hörerkreis: Studierende der Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik
Die Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis oder Optimalsteuerung denken. Informationen über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen finden Sie hier (Broschüre als PDF-Datei) und hier (Web-Seite). Differentialgleichungen sind aber auch in anderen Gebieten anzutreffen, so etwa in der Stochastik und Finanzmathematik.
Geplante Fortsetzung im Sommersemester 2009: Differentialgleichungen II (4+2 SWS), insbesondere zur schwachen Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.
Voraussetzungen: möglichst Analysis I, II, III und Lineare Algebra I, II; insbesondere lineare Räume und Abbildungen, der Banachsche Fixpunktsatz, die Behandlung linearer Differentialgleichungssysteme, Meßbarkeit und das Lebesguesche Integral sowie der Brouwersche Fixpunktsatz (Wiederholung wichtiger Themen in den Übungen)
Kriterien
für einen unbenoteten Übungsschein: erfolgreiche
Mitarbeit in den Tutorien, regelmäßige Bearbeitung der
Hausaufgaben sowie 50% der Punkte aus der
ersten und 50% der Punkte aus der zweiten Hälfte der
Übungsblätter. Nähere Informationen werden in der Übung gegeben. Die Hausaufgaben sind in festen Zweiergruppen zu bearbeiten.
Prüfungsmodalitäten: Im Anschluß an die Vorlesungszeit werden Termine für mündliche Prüfungen angeboten.
Literatur: Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an
E.
Emmrich. Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine
integrierte
Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für
Studierende. Vieweg, 2004.
W.
Walter. Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung.
Springer, Berlin, 7. Auflage, 2000.
Außerdem ist das Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr. P. Wittbold zu empfehlen.
In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.
Weitere Literaturempfehlungen
... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als PDF-Datei)
... zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
... zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier
(als PDF-Datei)
... zur
Numerik partieller Differentialgleichungen finden Sie hier
(als PDF-Datei)
... zur Biomathematik finden Sie hier
(als PDF-Datei)
Inhalt (voraussichtlich):
0
Einführung:
Anwendungsbeispiele und Typen von Differentialgleichungsproblemen
1
Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen
1.1
Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
1.2
Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
1.3
Das Charakteristikenverfahren für quasilineare partielle
Differentialgleichungen erster Ordnung
1.4
Grundtypen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
2
Existenz und Einzigkeit bei Anfangswertproblemen für
gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen
2.1
Integral für stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen
mit Werten in einem Banach-Raum
2.2
Der Satz von Picard-Lindelöf: Lokale und globale eindeutige
Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche
Operator-Differentialgleichungen
2.3
Lineare Systeme mit beschränkten Operatoren
2.4
Der Satz von Peano über die lokale Lösbarkeit
von Anfangswertproblemen für endlichdimensionale Systeme und eine
Verallgemeinerung auf Operator-Differentialgleichungen
2.5
Einzigkeitsaussagen
2.6
Verlauf der Lösungen im Großen und maximal
fortgesetzte Lösungen
2.7
Zur Existenz und Einzigkeit von Lösungen im Sinne
von Carathéodory
3
Abhängigkeit der Lösungen von den
Daten, Stabilität, Zeitdiskretisierung
3.1
Stetige und differenzierbare Abhängigkeit der Lösungen von
den Daten. Das Gronwallsche Lemma.
3.2
Dissipative Systeme
3.3
Zeitdiskretisierung durch einfache Einschrittverfahren
3.4
Stabilität und der Satz von Ljapunov. Asymptotisches
Verhalten
4
Klassische Lösbarkeit von Randwertproblemen für
gewöhnliche
Differentialgleichungen 2. Ordnung
4.1
Grundbegriffe und elementare Aussagen
4.2
Randwertprobleme für homogene, lineare Differentialgleichungen
4.3
Greensche Funktion und semilineare Probleme I
4.4
Greensche Funktion und inhomogene, lineare Probleme
4.5
Maximumprinzip und Stabilität
4.6
Sturm-Liouville-Problem
4.7
Greensche Funktion und semilineare Probleme II
4.8
Ober- und Unterlösungen
Prüfungsthemen (ohne 3.4 und ohne 4.6)
Übungsblätter
(pdf):
Blatt 1 | Blatt 2 | Blatt 3 | Blatt 4 | |
Blatt 6 | Blatt 7 | Blatt 8 | Blatt 9 / Osgood | Blatt 10 |
Blatt 11 | Blatt 12 / Korman | Blatt 13 | Blatt 14 |
Blatt 15 |
Software:
Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.
Informationen zu MATLAB:
Informationen zu SCILAB:
Für Fortgeschrittene empfehlen wir FEMLAB - ein Programmpaket, welches ursprünglich auf MATLAB aufbaut und für professionelle wissenschaftlich-technische Berechnungen geeignet ist. Zahlreiche Beispiele auf CD aus Bereichen wie Chemical Engineering und Fluid Dynamics sowie weitere Informationen sind unter www.comsol.de bzw. www.femlab.com zu erhalten.