Arbeitsgruppe
Pflasterungen: Von Dominos bis zu Penrose's Kites and Darts

Sommerakademie der Studienstiftung
Olang im Pustertal
3. Sept. bis 16. Sept. 2006

Prof. Martin Aigner Freie Universität Berlin
Prof. Stefan Felsner Technische Universität Berlin


Zeichnung

Grundlegendes:

Ein übliches Schachbrett kann offenbar mit 32 Dominosteinen belegt werden. Aber wie viele solcher Belegungen gibt es, und geht es auch, wenn zwei oder mehr Felder entfernt werden? Und wie sieht es aus für das n x n Schachbrett? Das sind die typischen Fragen bei Pflasterungen: Ein großes Gebiet (z.B. Rechteck oder die ganze Ebene) soll mit Steinen (z.B. Dominos oder Rhomben) vollkommen aufgefüllt werden. Kann man rasch entscheiden, ob das möglich ist? Wie viele Pflasterungen gibt es, exakt oder annähernd? Sind Symmetrien vorhanden? Wie sehen ``zufällige'' Pflasterungen aus? Zur Beantwortung dieser Fragen werden wir Methoden aus Kombinatorik, Geometrie, Algebra bis zur Physik kennen lernen.

Literatur:

Der Artikel von Ardila und Stanley [1] (eine Deutsche Version ist [2]) ist die Grundlage für das Seminar, alle Teilnehmer sollten ihn gelesen haben. Das Buch von Grünbaum und Shephard [3] ist das umfassende Werk zu allen Fragen über Pflasterungen. Dieses Buch sollte es in jeder mathematischen Bibliothek vorhanden sein. Es gibt auch eine verkürzte Version (nur 440 statt 700 Seiten), sie ist mit dem Titelzusatz an introduction gekennzeichnet. Der wunderbare Artikel von Stan Wagon [4] stellt 14 Beweise eines Satzes über Pflasterungen vor, vielleicht finden Sie einen 15. Beweis.
  1. Federico Ardila und Richard Stanley
    Tilings

  2. Federico Ardila und Richard Stanley
    Pflasterungen

  3. Branko Grünbaum und Geoffrey Shephard
    Tilings and Patterns.
    W.H. Freeman and Co. 1987.

  4. Stan Wagon
    Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle.
    Amer. Math. Monthly 94 (1987), 601-617.

Anmeldung:

Die Teilnehmer werden gebeten, sich aus der nachfolgenden Liste der Themen eines zu wählen und sich per Email an den, für das Thema verantwortlichen, Betreuer zu wenden. Die Themen werden nach dem "first come first serve" Verfahren vergeben. Einige der Themen eignen sich auch gut für zwei aufeinander abgestimmte Vorträge.

Vorträge:

Die einzelnen Vorträge sollten auf eine Sitzungs von ca. 90 Minuten angepasst sein. Welche Medien wir in Olang zur Verfügung haben werden ist noch nicht ganz gesichert. Wir rechnen mit einem OH-Projektor und hoffen auf einen Beamer (genauere Info an dieser Stelle sobald vorhanden). Für `Nebenrechnungen' und spontane Skizzen versuchen wir eine kleine Tafel oder ein Flipchart bereitzustellen.

Wir empfehlen dringend die den Vorträgen zugrunde liegenden Texte jetzt schon durchzuarbeiten. Für Rücksprachen haben wir die Zeit zwischen 19. Juni und 10. Juli vorgesehen. Ausserhalb dieses Zeitraums sind wir nur schwer erreichbar.

Touren:

Wir werden die Vortragssitzungen so planen, dass auch genügend Zeit für Bergwanderungen bleibt. Jeder sollte an angemessene Kleidung und Schuhwerk auch für diesen Zweck denken.

Themen:

Neu. Da die Themen inzwischen weitestgehend vergeben sind, werden wir ab jetzt für einige Themen einen zweiten Vortragenden zulassen. Wir denken dabei an die Themen 1, 5, 7, 8 und natürlich 9.
  1. Einige der 14 Beweise aus dem Artikel von Stan Wagon. Gezeigt wird folgendes: Wenn ein Rechteck R mit kleineren Rechtecken gepflastert werden kann , die je zumindest eine ganzzahlige Seite haben, dann hat auch R eine ganzzahlige Seite.

    Betreut von Martin Aigner -- vergeben an Wiltrud Wagner und Xuan Baldauf.

    Literatur:
  2. Studiert wird das Problem, eine n-dimensionale Schachtel von ganzzahligen Abmessungen A1 × · · · × An mit Pflastersteinen der ganzzahligen Maße a1 × · · · × an zu pflastern. Er zeigt, dass es für die Existenz einer Pflasterung notwendig ist, dass sich für jedes ai ein Vielfaches unter den Werten A1, . . . ,An findet.

    Betreut von Martin Aigner -- vergeben an Sascha Daab.

    Literatur:
  3. Die Autoren zeigen, dass ein Quadrat mit ähnlichen Kopien eines 1 × u-Rechtecks dann und nur dann gepflastert werden kann, wenn u eine Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dessen Wurzeln alle einen positiven Realteil haben. Dieses Resultat wurde unabhängig von C. Freiling und D. Rinne bewiesen: Tiling a square with similar rectangles, Math. Res. Letters 1 (1994), 547-558.

    Betreut von Martin Aigner -- vergeben an Marianne Bader.

    Literatur:
  4. Ungleichungen; geometrisches und arithmetisches Mittel. Die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel wird geometrisch gedeutet. Schon der Fall n=3 führt auf ein kniffeliges Packungsproblem im Raum.

    Betreut von Martin Aigner -- vergeben an Jeremias Epperlein.

    Literatur:
  5. Jeder perfekten Pflasterung eines Rechtecks wird ein gerichteter Graph und ein elektrischer Fluss auf diesem Graphen zugeordnet. Die Eigenschaften der Pflasterung spiegeln sich in den in den Widerständen des elektrischen Netzwerks wider. Diese Modellierung erlaubt uns verschiedene Resultate über Pflasterungen mit Quadraten zu beweisen und einen interessanten Ansatz für ihre Konstruktion zu finden.

    Betreut von Stefan Felsner -- vergeben an Filip Rindler.

    Literatur:
  6. Hier geht es um die verblüffend einfache Formel für die Anzahl der Domino Parkettierungen von Aztekische Diamanten. Die Abbildung zeigt die kleinsten fünf Aztekischen Diamanten



    Betreut von Martin Aigner -- vergeben an Carl Göbel.

    Literatur:
  7. Schachbrettartige Färbungen können in manchen Fällen benutzt werden um zu zeigen, dass eine Pflasterung nicht existiert. Conway und Lagarias haben eine nachweislich stärkere Technik entwickelt die Randworte verwendet. In Anwendungen muss man mit endlich präsentierten Gruppen arbeiten, was ziemlich kompliziert werden kann. Michael Reid beschreibt eine modifizierte Variante der Conway-Lagarias Technik und stellt zahlreiche konkrete Beispiele vor

    Betreut von Stefan Felsner -- vergeben an Felix Arends und Martin Stepniewski.

    Literatur:
  8. Wenn wir die Menge aller Pflasterungen eines Gebiets studieren, dann ist es oft nützlich, in dieser Menge auf eine gute Art ``navigieren" zu können. Im Fall von Dominopflasterungen erlaubt das der Flip. Er besteht darin, dass wir die Richtung von zwei Dominos umdrehen, die zusammen ein 2 × 2-Quadrat bilden. Thurston (Conway's Tiling Groups Amer. Math. Monthly 97 (1990), 757-773) hat gezeigt, dass dies ein allgemeines Phänomen ist. Für jedes Gebiet R ohne Löcher kann jeder Dominopflasterung zu jeder anderen durch eine Folge von Flips gelangen. In diesem Vortrag wird eine Theorie entwickelt die das Thurstonsche Resultat als Spezialfall hat.

    Betreut von Stefan Felsner -- vergeben an Ralf Kohlhaas und Jochen Ott.

    Literatur:
  9. Ein allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Anzahl von Domino Parkettierungen eines Gebiets mittels Pfaffscher-Orientierungen wird vorgestellt. Für Rechtecke läßt sich eine geschlossene Formel herleiten.

    Betreut von Martin Aigner (Zwei Termine)
    -- vergeben an Julian Holstein und Ingo Karschin

    Literatur:
  10. Ein klassisches Resultat von Dehn aus dem Jahre 1903 besagt, dass ein Rechteck R genau dann mit Quadraten gepflastert werden kann wenn das Verhältnis seiner Seiten rational ist.
    Erstaunlicherweise ist bis heute keine Charakterisierung jener L-Gebiete, die mit Quadraten gepflastert werden können, bekannt. Die nachfolgende Arbeit löst das Problem wenn Quadrate und Anti-Quadrate zum Pflastern benutzt werden dürfen.

    Betreut von Stefan Felsner -- vergeben an Linus Mattauch.

    Literatur:
  11. Der englische Mathematiker Robert Penrose fand einfache aperiodische Pflasterungen die aus darts (Pfeilen) und kites (Drachen) bestehen. Diese Pflasterungen sind inzwischen Kult. In einem klassischer Artikel aus Scientific American beschreibt Martin Gardner die Konstruktion und einige der erstaunlichen Eigenschaften dieser Pflasterungen. Mathematisch genauer ist eine Ausarbeitung von Christopher McMurdie die wir im Netz gefunden haben.

    Betreut von Stefan Felsner -- vergeben an Julia Brandes.

    Literatur:
  12. Eine Bruchlinie in einer Domino Parkettierung eines Gebiets G is eine horizontale oder vertikale Gerade die G in zwei Teile zerschneidet, aber keines der Dominos der Parkettierung schneidet. Ron Graham charakterisiert die Rechtecke die eine bruchlinienfreie Parkettierung besitzen.

    Betreut von Martin Aigner -- vergeben an Dominique Ouart.

    Literatur:


Zielgruppe:

Studentinnen und Studenten der Mathematik sowie alle, die sich für Mathematik interessieren und einige Kenntnisse aus der Schule mitbringen.

Zuletzt bearbeitet Juni 2006