Algebraische Kurven

Vorlesung im Sommersemester 2006 an der Technischen Universität Berlin.
Auf dieser Seite werden im Lauf der VL relevante Informationen zur Verfügung gestellt.

Dozent: Prof. Dr. F. Heß

Übersicht:

Zeiten und Adressen

Vorlesung

Di 8-10 im MA545 und Do 10-12 im MA551

Sprechzeiten nach der Vorlesung (und dem Mittagessen) und nach Vereinbarung.

F. Heß		hess@math.tu-berlin.de	314-25062	MA804
Teilnehmer der VL Algebraische Kurven		XXXXX@math.tu-berlin.de

Inhalt

Die Vorlesung baut auf der Algebra I und II auf und behandelt die Grundlagen der Theorie der algebraischen Kurven über beliebigem, und später in der Vorlesung insbesondere endlichem Konstantenkörper. Falls die Zeit ausreicht, soll auch auf algorithmische Aspekte im Hinblick auf Anwendungen in der Kryptographie und Kodierungstheorie eingegangen werden.

Speziell sollen nach Möglichkeit folgende Begriffe und Themen behandelt werden: Grundlagen der algebraischen Geometrie, Riemann-Roch Theorie der algebraischen Kurven, Überlagerungen. Zetafunktion, L-Polynom und charakterisches Polynom des Frobenius für Kurven über endlichen Körpern. Elliptische und hyperelliptische Kurven.

Vorlesungskalendar

18.04. Organisatorisches (der Dienstagstermin wird voraussichtlich auf 8-10 Uhr verlegt). Affine algebraische Mengen. Beispiele. Die Abbildungen V(.) und I(.). Grundlegende Eigenschaften und Zariskitopologie. Lesen: Irreduzible algebraische Mengen (mit Beweisen) und Hilbertscher Nullstellensatz (ohne Beweis).
20.04. Irreduzible algebraische Mengen, Zerlegungen, Radikalideale, Hilbertscher Nullstellensatz, Noether Normalisierung.
25.04. Beweise vom Nullstellensatz und der Noether-Normalisierung, Polynomabbildungen, Koordinatenringe. Äquivalenz von offen und dicht in irreduziblen Mengen. Kurz: Relativtopologie, abgeschlossene Mengen affiner Varietäten.
27.04. Beziehung der Punkte einer affinen Varietät zu den maximalen Idealen des Koordinatenrings. Reguläre Abbildungen von Varietäten und Homomorphismen der Koordinatenringe. Vergleich der "geometrischen Sicht" mit der "algebraischen Sicht".
02.05. Nochmal etwas Algebra: Nilpotente Elemente, reduzierte Ringe, Radikalideale. Etwas Kategorientheorie, insbesondere Äquivalenzen von Kategorien im Hinblick auf die Kategorie der Varietäten und die Kategorie der (zugehörigen) affinen Algebren.
04.05. Produkte affiner Varietäten. Zariskitopologie im Produkt ist ungleich der Produkttopologie im herkömmlichen Sinn. Rationale Abbildungen. Dominante rationale Abbildungen und Inklusionen der Funktionenkörper.
09.05. Wiederholung rationale Abbildungen, quasi-affine Varietäten, Morphismen, basisoffene Mengen. Projektive Räume. Kurzer Überblick über projektive Varietäten, affine Überdeckungen.
11.05. Singuläre Punkte, reguläre Punkte, singulärer Locus, Dimensionsbegriffe.
16.05. Intrinsische Definition von singulär und regulär. Reguläre lokale Ringe. Diskrete Bewertungsringe und Dedekindringe.
18.05. Beginn algebraische Theorie der Funktionenkörper einer Variablen. Grundlegende Aussagen über Stellen. Übersicht Divisoren und Satz von Riemann-Roch.
23.05. Beispiel rationaler Funktionenkörper. Approximationsatz und Endlichkeit der Anzahl der Nullstellen und Polstellen nichtkonstanter algebraischer Funktionen.
25.05. VL fällt aus wegen Feiertag.
30.05. Nähere Erläuterung von ein paar Beweisen. Erste Aussagen über Divisoren.
01.06. Detailliertes Beispiel zu Stellen, Divisoren und Riemann-Roch Räumen. Satz von Riemann. Grober Überblick über Adele und weitere Interpretationen des Spezialitätsindex in Richtung Satz von Riemann-Roch.
06.06. Weitere Beispiele. Grundlagen zu Adelen.
08.06. Beweise des Zusammenhangs des Spezialitätsindex und einem Faktorraum der Adele. Grundlegende Eigenschaften der Weil Differentiale.
13.06. Weitere Eigenschaften der Weil Differentiale. Satz von Riemann-Roch. Einige einfache Folgerungen aus dem Satz von Riemann-Roch. Charakterisierung rationaler Funktionenkörper. Beispiele für rationale und nicht-rationale Funktionenkörper vom Geschlecht Null.
15.06. Starker Approximationssatz. Polstellenverhalten, Weierstraßhalbgruppe, Weierstraßpunkte.
20.06. Keine VL. Eigenständige Wiederholung der Aussagen über Divisoren, den Satz von Riemann-Roch und seinen Anwendungen.
22.06. Keine VL. Lesen von Dedekindringe in Funktionenkörpern (zuletzt geändert 13.07.).
27.06. Besprechung von Fragen bezüglich der Riemann-Roch Theorie und dem Skript von letzter Woche. Dedekindringe in Funktionenkörpern Teil 1.
29.06. Dedekindringe in Funktionenkörpern Teil 2. Verbindungen zu Kurven.
04.07. Ordnungen und ganze Abschlüsse.
06.07. Keine VL.
11.07. Diskriminante, Index, Führer.
13.07. Invertierbare Ideale und Idealfaktorisierung in Ordnungen. Satz von Kummer.
18.07. Elliptische und hyperelliptische Kurven und Funktionenkörper
20.07. Beispiele und Ausblick. Hier ist eine Beispielssitzung in KASH3.

Scheinmodalitäten

Es gibt keine Übungen. Daher ist eine aktive Teilnahme an der Vorlesung erforderlich. ERASMUS Studenten melden sich bitte am Anfang der Vorlesung.

Weitere Informationen

Bibliographie:

Hier ist eine relativ zufällige Auswahl an Büchern, welche für die VL relevanten Stoff beinhalten.

H. Stichtenoth, Algebraic Function Fields.

K. Hulek, Elementare Algebraische Geometrie.

R. Hartshorne, Algebraic Geometry.

J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves.

J. Milne, Course Notes on Algebraic Geometry and Elliptic Curves.

H. Cohen und G. Frey, Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography.

M. Atiyah und I. McDonald, Introduction to Commutative Algebra.

D. Eisenbud, Commutative Algebra.

S. Lang, Algebra.

F. Lorenz, Einführung in die Algebra Teil I.

Fortsetzung:

Voraussichtlich nur Seminar.