Geometrie und Kombinatorik konvexer Polytope, WS 05/06

VL 2+0.

Diese Veranstaltung richtet sich an Studierende im Hauptstudium, die die "Einführung in die Optimierung" oder die Diskrete Geometrie gehört haben. Geboten wird ein Streifzug durch die Polytoptheorie, der alle Hilfsmittel bereitstellen soll für Anwendungen auf gewisse polynomiale Gleichungssysteme.

Ursprünglich sollte sich einmal eine Vorlesung über torische Varietäten anschließen. Da das aber leider (aufgrund anderweitiger Lehrverpflichtung) nicht möglich ist, wird diese Vorlesung so weit kondensiert, dass am Ende noch Platz ist für ein bisschen Algebra(ische Geometrie).

Die Themenliste umfasst

• Volumen und gemischtes Volumen
• Gitterpolytope und Gitterkegel
• Algebraische Gleichungssysteme und der Satz von Bernstein
• torische Varietäten

Literatur

1. U. Betke: Mixed volumes of polytopes, Arch. Math. (Basel) 58 (1992), no. 4, 388-391; MR1152628 (93f:52012).
2. D.A. Cox, J. Little und D. O'Shea: Ideals, varieties, and algorithms, Second edition, Springer, New York, 1997; MR1417938 (97h:13024).
3. D.A. Cox, J. Little und D. O'Shea: Using algebraic geometry, Second Edition, Springer, 2005; MR2122859 (2005i:13037).
4. M. Dyer, P. Gritzmann und A. Hufnagel: On the complexity of computing mixed volumes, SIAM J. Comput. 27 (1998), no. 2, 356-400 (electronic); MR1616544 (99f:68092).
5. G. Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry, Springer, 1996; MR1418400 (97i:52012).
6. W. Fulton: Introduction to toric varieties, Ann. of Math. Stud., 131, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993; MR1234037 (94g:14028).
7. J. von zur Gathen und J. Gerhard: Modern computer algebra, Second edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003; MR2001757 (2004g:68202).
8. B. Huber und B. Sturmfels: A polyhedral method for solving sparse polynomial systems, Math. Comp. 64 (1995), no. 212, 1541-1555; MR1297471 (95m:65100).
9. B. Huber, J. Rambau und F. Santos: The Cayley trick, lifting subdivisions and the Bohne-Dress theorem on zonotopal tilings, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 2 (2000), no. 2, 179-198; MR1763304 (2001i:52017)
10. M. Joswig und N. Witte: Balanced triangulations of lattice polytopes, Preprint math.CO/0508180.
11. E. Soprunova und F. Sottile: Lower bounds for real solutions to sparse polynomial systems, erscheint in Adv. Math., math.AG/0409504.
12. B. Sturmfels: Solving systems of polynomial equations, Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 2002; MR1925796 (2003i:13037).
13. B. Sturmfels: Gröbner bases and convex polytopes, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996; MR1363949 (97b:13034).