A[
          k_] = {{1 - 10^(-k), 
            1 - 2*10^(-k)}, {1 - 2*10^(-k), 
            1 - 3*10^(-k)}};

b[k_] = A[k] . {1, 1};

LinearSolve[A[10000], b[10000]]

Eigenvalues[A[10]]

% // N

Eigenvalues[A[10000]] // N

Solve[A[10] . {x, y} == b[10]]

Solve[N[A[5]] . {x, y} == N[b[5]]]

Solve[N[A[8]] . {x, y} == N[b[8]]]

N[A[8]]