Inhaltsverzeichnis

Lineare Algebra II

Sommersemester 2008
Stefan Felsner

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1. Vorlesung, Do. 17.4.2008 

    Rückblick auf Lineare Algebra I
    Eigenwerte und Eigenvektoren
       Definitionen und Beispiele
       F-invariante Unterräume
2. Vorlesung, Fr. 18.4.2008 
       Diagonalmatrizen und Diagonalisierbarkeit
       Ein Kriterium für Diagonalisierbarkeit
       Eigenräume
       Direkte Summen von Eigenräumen
       Verallgemeinerte Eigenvektoren
       Existenz von Eigenwerten für komplexe Endomorphismen
3. Vorlesung, Do. 24.4.2008 
    Das charakteristische Polynom
       Motivation 
       Determinanten von Matrizen mit nicht-K Einträgen
       Die Determinantenevaluation liefert ein Polynom
       Grad und spezielle Koeffizienten
       Invarianz unter Ähnlichkeitstransformationen
4. Vorlesung, Fr. 25.4.2008 
       Zusammenfassung: Charakteristisches Polynom
    Diagonalisierbarkeit
       Geometrische und algebraische Vielfachheit von Eigenwerten
       Charakterisierung diagonalisierbarer Endomorphismen
       Diagonalisierung; Algorithmus und Beispiel
5. Vorlesung, Fr. 2.5.2008 
    Trigonalisierbarkeit
       Fahne F-invarianter Unterräume
       Cayley-Hamilton für Trigonalisierbare
       Trigonalisierungssatz
6. Vorlesung, Do. 8.5.2008
     Vertr. Andrea Hoffkamp 
    Der Satz von Cayley-Hamilton
       K[x] und der Einsetzhomomorphismus
          Polynome vs. Polynomabbildungen
          K[A] als kommutativer Unterring von M(n,n)
       Das Minimalpolynom
          Ideale in K[x] sind Hauptideale
          Minimalpolynom existiert
7. Vorlesung, Fr. 9.5.2008
     Vertr. Andrea Hoffkamp 
       Satz von Cayley-Hamilton
          Der naheliegende, falsche Beweis
          Der Sasyk Beweis
          Eigenwerte sind Nst. des Minimalpolynoms
          Minimalpolynom berechnen
       Die fast Trigonalisierung reeller Endomorphismen
8. Vorlesung, Do. 15.5.2008 
    Die Jordansche Normalform (JNF)
       Block-Trigonalgestalt
          Zerlegungslemma
          Invarianzlemma
          Blockdarstellung
9. Vorlesung, Fr. 16.5.2008 
          Haupträume
       Jordan Blöcke
          Hauptsatz für nilpotente Endomorphismen
10. Vorlesung, Do. 22.5.2008 
          Die Kästchengrößen in der JNF
          Charakterisierung von Diagonalisierbarkeit
          Beispiele, JNF ohne Mühen
    Euklidische Vektorräume
       Skalarprodukt
11. Vorlesung, Fr. 23.5.2008 
       Skalarprodukt, Norm und Metrik 
       Parallelogrammgleichung
       Cauchy-Schwarz Ungleichung
       Winkel
12. Vorlesung, Do. 30.5.2008 
       Darstellung von Geraden und Hyperebenen 
       Das Kreuzprodukt
          Algebraische Eigenschaften
          Geometrische Eigenschaften
       Das komplexe Skalarprodukt
13. Vorlesung, Fr. 31.5.2008 
    Bilinearformen
       Darstellbarkeit von Bilinearformen durch Matrizen
       Transformationsverhalten
       Quadratische Formen
          Polariosierung
       Komplexe Bilinearformen
14. Vorlesung, Do. 5.6.2008 
    Orthogonalität
       Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit
       Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis
       Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt
15. Vorlesung, Fr. 6.6.2008 
       Orthogonale Polynome
          Reele Nullstellen
          Rekursion
    Probleme aus der kombinatorischen Geometrie
16. Vorlesung, Do. 12.6.2008 
    Probleme aus der kombinatorischen Geometrie     
         (1) Wie viele Geraden werden von n Punkten,
             die nicht kollinear sind, aufgespannt?
         Fishers Ungleichung
         (2) Wie viele Punkte kann eine Menge im R^n enthalten
             in der nur zwei Abstaende vorkommen?
17. Vorlesung, Fr. 13.6.2008 
    Gram-Matrizen und Gram-Determinanten
       Gram-Matrizen sind positiv semidefinit
    Volumina von nicht volldimensionalen Parallelepipeden
       Gleichungssysteme für die Höhen
18. Vorlesung, Do. 19.6.2008 
       Exkurs: Bestapproximation
       Lösung mit Cramerscher Regel
       Volumensformel
    Orthogonale und unitäre Endomorphismen
       Längen und Winkel
19. Vorlesung, Fr. 20.6.2008 
       Orthogonale und unitäre Matrizen
       Orthogonale Abbildungen in kleinen Dimensionen
         Satz vom Fußball: A in SO(3) hat Fixpunkt auf S2
         Zur Struktur von SO(3); topologisch, endliche Untergruppen
20. Vorlesung, Do. 26.6.2008 
         Normalform für unitäre Matrizen
         Normalform für orthogonale Matrizen
           Beweis des Hauptlemmas mit Symmetrisierung
21. Vorlesung, Fr. 27.6.2008 
      Selbstadjungierte Endomorphismen
         sind symmetrisch und
         diagonalisierbar bezüglich einer ONB
      Hauptachsentransformation
         Symmetrische Bilinearformen
         Trägheitssatz von Sylvester für Rn
22. Vorlesung, Do. 3.7.2008 
         Quadratische Formen und Quadriken
            Klassifikation in 2-Dim
            Klassifikation in 3-Dim 
            Bilder: [3-D animation] MathWorld ,[PDF] Quadriken aus Chemnitz.
    Dualität
       Dualräume
23. Vorlesung, Fr. 4.7.2008 
       Duale Basen 
       Annihilator
       Duale Abbildung
24. Vorlesung, Do. 10.7.2008 
      Dualität und Skalarprodukt
      Kanonischer Isomorphismus V - V^*
      Adjungierte Abbildung
25. Vorlesung, Fr. 11.7.2008 
    Lineare Programmierung
       Beispiel in 2-D
       Transportproblem
       Standardform
       Duale Problempaare
       Hauptsatz
26. Vorlesung, Do. 17.7.2008 
       Gleichungsform
       Transformation in Gleichungsform
       Basislösungen
       Simplex Algorithmus
          Tableautransformationen zum Basisaustausch
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