Konturen vom Februar 1987
Im Februar 1987 gab es noch keine Rechner, Drucker oder gar Scanner am Institut, aber viel Bleistift und Papier.
Ein paar Skizzen von damals habe ich jetzt wieder gefunden, sie beziehen sich auf diese Probleme:
Eine im Raum immersierte Fläche wird in einer Richtung immer weiter zusammengedrückt bis die Fläche schließlich in der Ebene immersiert liegt. Halt, nicht ganz! Es enstehen Bügelfalten, also Konturen, die möglichst als glatte Kurven in der Ebene erscheinen sollen. Bei manchen (nicht orientierbaren) Flächen hat die Kontur auch zwingend (mindestens) eine Spitze.
Einige Frage, die sich dabei aufdrängen sind:
- Wieviele Komponenten muss die Kontur haben?
- Kann man aus der gegebenen Kontur auf die Fläche schließen?
- Kann man aus der gegebenen Kontur auf die Immersion direkt vor dem Bügeln schließen?
Zwei Papiermodelle hingen jahrzehntelang an meiner Pinnwand, als erstes der
Torus
mit einer(!) Kontur, die zweimal durchlaufen wird. An der dicksten Stelle liegen 8 Lagen Papier übereinander.
Als zweites die
Projektive Ebene
auch mit nur einer Kontur, die aber eine Spitze haben muss. Wie diese Kontur mit der Fläche wiederbefüllt wird zeigen einige
Skizzen.
Die folgenden
Konturbeispiele
zeigen verschiedene Flächen und Varianten der Interpretation:
- Die Sphäre mit einer Kontur jedoch zwei verschiedenen Varianten das obere mit dem unteren Blatt zu verkleben.
- Die Projektive Ebene (wie oben).
- Den Torus mit 2 Konturkomponenten jedoch zwei Varianten.
- Die Kleinsche Flasche. Hier wird das Blatt mit sich selbst verklebt.
- Die Projektive Ebene mit einem Henkel mit einer Spitze jedoch 2 Varianten mit sich selbst zu verkleben.
- Bei der Brezel gibt mindestens 8 Varianten, nicht mal die Orientierbarkeit ist alleine aus der Kontur ablesbar.
Ein ganzer Zoo an kombinatorischen Möglichkeiten ensteht bei dieser
Dieder-5-Symmetrie.
Die beigelegten 4 Bausteine (A bis D) lassen sich artenreich kombinieren und zusammensetzen. Das einfachste Modell ist ( 5 mal A + 1 mal D ).