- DFG-Schwerpunktprogramms SPP1145
"Adaptives Lösungsverfahren für die Coupled-Cluster-Gleichung und Tensorprodukt-Approximation von Zweielektronenintegralen."
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Abstrakt:
Um bei der Berechnung der Elektronenstruktur eine bezüglich des Rechenaufwands optimale Komplexität
zu erzielen, d.h.~lineare Abhängigkeit von der Systemgröße bzw. der Anzahl an Freiheitsgraden,
ist der Einsatz adaptiver Methoden unerläßlich. Im ersten Teil unseres Projekts möchten wir
neuere Konzepte aus der Mehrskalenanalysis zur Entwicklung adaptiver Algorithmen für Coupled-Cluster
und Configuration-Interaction-Methoden heranziehen. Hierbei bezieht sich Adaptivität
auf die Auswahl derjenigen Anregungsamplituden welche den größten Einfluß auf die Energie ausüben.
Verschiedene derartige Ansätze sind aus der Literatur bekannt, wobei es unsere Absicht ist
einige neue mathematisch motivierte Ideen einzubringen, wie die Wahl einer geeigneten Norm für
die Auswahl der Amplituden sowie die Anwendung von a posteriori Fehlerschätzern.
Der zweite Teil unseres Projekts beschäftigt sich mit
der effizienten Berechnung von Zweielektronenintegralen, einem typischen Engpaß bei
quantenchemischen Rechnungen. Wir möchten adaptive Konzepte in unser kürzlich
entwickeltes, auf optimalen Tensorprodukt-Approximationen basierendes Verfahren
einbinden. Dies läßt sich dadurch bewerkstelligen, daß man hierarchische Tensorprodukt-Zerlegungen
konstruiert sowie adaptive Algorithmen für die Faltung mit dem Coulombpotential verwendet.
- DFG-Schwerpunktprogramms 1324
"Mathematische Methoden zur Extraktion quantifizierbarer Information aus komplexen Systemen"
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Abstrakt:
Many challenging problems of numerical computations arise from problems
involving a high spatial dimension. For a fine grid resolution even 3
dimensions cause a problem, but 6 or even much higher dimensions require quite
new methods, since the standard approaches have a computational complexity
growing exponentially in the dimension ( curse of
dimensionality). A remedy is the use of data-sparse matrices or corresponding
constructions exploiting tensor product representations. Here, we focus on eigenvalue problems in this field.
While the design of the algorithms is rather general, the main application are problems from electronic structure |
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calculations. Many of the developed methods
may be applied to general problems stemming from elliptic
differential or integral operators.
In particular, the basic
electronic Schrödinger equation is an eigenvalue problem for
an elliptic 2nd order partial differential equation in high
dimensions. Alternative to a direct treatment of this original
problem we would like to exploit successful developments in quantum
chemistry, mainly putting newly developed methods on top of well
established electronic structure programs. A major focus will be on
eigenvalue problems in Density Functional Methods. Perhaps there
are further instances where the development of the project would
contribute to numerical methods in electronic structure calculation,
e.g. adaptive configuration interaction (CI) and coupled cluster
(CC) methods and Jastrow factor calculation.
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- Projekt A7 im DFG Forschungscentrum Matheon
"Numerical Discretization Methods in Quantum Chemistry"
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Abstrakt:
Computer simulation plays an ever expanding role in modern scientific research, and the fields of chemistry,
biochemistry, and pharmaceutical research are no exceptions.
The model on which our physical understanding of chemistry rests is the Schrödinger equation,
the basic equation of quantum mechanics. Approximation techniques for its solutions is an active area of
research spanning the fields of chemistry, physics, and applied mathematics. The main problem is that this
equation is an equation in 3N space dimensions for a system consisting of N electrons and nuclei. The so-called "curse of dimensionality" prohibits direct approximation techniques for even reasonably
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small systems, and a host of methods have been discovered over the past decades which attack the problem
from other approaches. However recent developments indicate that the curse of dimensionality might be
broken---or at least brought into the realm of numerical tractability. Among these developments is an
improved understanding of the "regularity" of the solutions, together with advances in sparse grid techniques
from numerical analysis. The goal of this project is to further refine these ideas and to implement them in
efficient numerical algorithms. |
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