Algebra I

Vorlesung im Sommersemester 2005 an der Technischen Universität Berlin.
Auf dieser Seite werden im Lauf der VL relevante Informationen zur Verfügung gestellt.

Dozenten: Prof. Dr. F. Heß, Dipl.-Math. M. Wagner

Zeiten und Adressen

Vorlesung:	Di 10-12 Uhr im MA841 und Do 10-12 im MA841
Übung:	Mi 12-14 Uhr im MA376
Tutorium:	Fr 12-14 Uhr im MA376

Sprechzeiten: F. Heß nach der Vorlesung (und dem Mittagessen) und nach Vereinbarung, M. Wagner Fr 14-16 Uhr im MA812 und nach Vereinbarung.

F. Heß	MA804	xxx@math.tu-berlin.de 314-25062
M. Wagner	MA812	xxx@math.tu-berlin.de 314-23761
Teilnehmer der VL Algebra I		xxx1@math.tu-berlin.de

Inhalt

Gruppen (darunter Homomorphie, chinesischer Restsatz, direkte und semidirekte Produkte, Permutationsgruppen, Sylowsätze und Anwendungen, Auflösbarkeit). Ringe (darunter Homomorphie, direkte Produkte, Lokalisierung, Eigenschaften von Ringen, Polynomringe, Gruppenringe, Potenzreihen- und Laurentreihenringe). Moduln (darunter Homomorphie, noethersche und artinsche Moduln, Länge eines Moduls, Matrizen über Ringen, Moduln über Hauptidealringen, Hermite- und Smithnormalform, Anwendungen).

Unterlagen und Übungsblätter

Unterlagen zur Vorlesung: Skript (ps, pdf).
Übungsblätter zur Vorlesung: Blatt 1 (Abgabe: 22.4.05. ps, pdf), Blatt 2 (Abgabe: 29.4.05. ps, pdf), Blatt 3 (Abgabe 6.5.05 ps, pdf), Blatt 4 (Abgabe 13.5.05 ps, pdf), Blatt 5 (Abgabe 18.5.05 ps, pdf), Blatt 6 (Abgabe 27.5.05 ps, pdf) Blatt 7 (Abgabe 3.6.05 ps, pdf) Blatt 8 (Abgabe 10.6.05 ps, pdf) Blatt 9 (Abgabe 17.6.05 ps, pdf) Blatt 10 ( ps, pdf) Blatt 11 ( ps, pdf) Blatt 12 ( ps, pdf) Blatt 13 ( ps, pdf)
Kurze Einführung in KASH (ps, pdf)
KASH-Code: Gruppentafel, Diskreter Logarithmus.

12.04. Organisatorisches. Bemerkungen zur Geschichte der Algebra, algebraische Strukturen, Halbgruppen, Monoide, strukturerhaltende Abbildungen.
14.04. Inverse Elemente, Gruppen, Untergruppen, Erzeugnis, Ordnung, Eigenschaften abelsch, zyklisch.
19.04. Nebenklassen, Index, Satz von Lagrange, Indexformeln, kleiner Satz von Fermat, Aussagen über zyklische Gruppen.
21.04. Aussagen über zyklische Gruppen, Normalteiler, Faktorgruppen.
26.04. Homomorphiesatz, Isomorphiesätze, (äußere direkte) Produkte, Eigenschaften.
28.04. Innere direkte Produkte, Eigenschaften. Operationen von Gruppen auf Mengen.
03.05. Operationen von Gruppen auf Mengen, Sylowsätze (die VL ist bei den Sylowsätzen etwas genauer als das Skript, hier die eingescannte Mitschrift Seite 1, Seite 2, Seite 3, Seite 4, Seite 5).
05.05. Keine VL (Himmelfahrt).
10.05. Sylowsätze, Anwendungen (Mitschrift Seite 1, Seite 2, Seite 3, Seite 4, Seite 5).
12.05. Anwendungen, freie Gruppen, Ausblick auf weitere Themen in der Gruppentheorie (Mitschrift Seite 1, Seite 2, Seite 3, Seite 4, Gruppeninformationen bis Ordnung 30, Seite 1, Seite 2, Seite 3, Seite 4, Seite 5, Seite 6, Seite 7, Seite 8, Seite 9).
17.05. Ringe, Definitionen und grundlegene Eigenschaften, Ideale, Rechenregeln, Faktorringe.
19.05. Faktorringe, Homomorphismen, Homomorphiesatz, Beispiele.
24.05. Wiederholung der beiden letzten Male. Isomorphiesätze, äußere und innere direkte Produkte (Mitschrift Seite 1, Seite 2, Seite 3, Seite 4, Seite 5, Seite 6, Seite 7, Seite 8, Seite 9).
26.05. Orthogonale Idempotente, chinesischer Restsatz, Produkte komaximaler Ideale (Mitschrift Seite 1, Seite 2, Seite 3, Seite 4, Seite 5, Seite 5.5, Seite 6, Seite 7).
31.05. Einheiten, Nullteiler, nilpotente Elemente. Schiefkörper, Körper, einfache Ringe. Charakteristik, Primkörper (Mitschrift mit Änderungen vom 31.05.2005).
02.06. Charakteristik, Primkörper. Noethersche Ringe, maximale Ideale (Mitschrift).
07.06. Maximale Ideale, Integritätsringe, Primideale, Kryptosystem RSA (Mitschrift).
09.06. Teilbarkeit in Ringen, Hauptidealringe, faktorielle Ringe, euklidische Ringe (Mitschrift).
14.06. Lokale Ringe und Lokalisierung (Mitschrift).
16.06. Polynomdivision, Polynome über Körpern, Nullstellen von Polynomen, Konstruktion neuer Körper.
21.06. Übersicht über Ring- und Polynomringeigenschaften, Bewertungen und Fortsetzungen auf Polynomringe, Lemma von Gauß.
23.06. Polynome über faktoriellen Ringen, Satz von Gauß. Irreduzibilitätskriterien für Polynome: Reduktionssatz, Satz von Eisenstein.
28.06. Multivariate Polynomringe, rationale Funktionen, Potenzreihen, Laurentreihen, symmetrische Polynome (Mitschrift vom 16.06. bis 28.06.).
30.06. Moduln. Definitionen, Homomorphie und Isomorphiesätze, Annulator und Torsionsmoduln. (Mitschrift Moduln 30.06. 5.07. 7.07. 12.07.).
05.07. Freie Moduln. Beispiele für nicht freie Moduln. Matrizen und Determinanten über Ringen.
06.07. Noethersche und artinsche Moduln. Moduln endlicher Länge und Längenformel.
07.07. Matrizen über Hauptidealringen, Hermite- und Smithnormalform.
12.07. Hauptsatz für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen und Anwendungen.
14.07. Ausblick auf weitere Themen, Diskussion.

Gruppenarbeit in Zweiergruppen. Scheinkriterium sind 40% der erreichbaren Punkte in jeder Semesterhälfte. Die Abgabe der praktischen Aufgaben hat am selben Tag zu erfolgen wie die Übungsaufgaben. Ist ein Programm gefragt, so wird ein lauffähiges Programm verlangt, das als Attachment per Mail an xxx@math.tu-berlin.de geschickt wird.

Für Informatiker, welche die VL als Wahlfach hören wollen, setzt sich die prüfungsrelevante Studienleistung aus den erreichten Punkten der wöchentlichen Übungsaufgaben und einer mündlichen Prüfung am Ende der VL zusammen.

Weitere Informationen

Bücher:

Es gibt sehr viele Bücher über Algebra. Im Sinn der VL siehe zum Beispiel Meyberg, Algebra Teil I und Fischer-Sacher, Einführung in die Algebra. Weitere Bücher sind Bosch, Algebra; Lang, Algebra; Lorenz, Einführung in die Algebra I; usw. Neben der Mathematikbibliothek sollte die Lehrbuchsammlung das ein oder andere Buch vorrätig haben.

Fortsetzung:

Im Anschluß an diese VL werden im Wintersemester 2005 folgende Veranstaltungen angeboten: Algebra II (Fortsetzung der Algebra I), Kryptographie, Seminar.