Anwendungen und elementare Lösungstechniken für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen; Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenz, Einzigkeit, stetige Abhängigkeit und Stabilität, lineare Systeme, Differentialgleichungen im Banach-Raum; Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung: klassische Lösbarkeit linearer und semilinearer Probleme, Greensche Funktion, Maximumprinzip und Stabilität; Fixpunktprinzipien

Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.tu-berlin.de oder kreusler@math.tu-berlin.de

Hörerkreis: Studierende der Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik, Physik

Die Vorlesung richtet sich insbesondere an all jene, die sich für Differentialgleichungen interessieren und an eine Vertiefung in Differentialgleichungen und Modellierung, Numerischer Analysis oder Optimalsteuerung denken. Informationen über die von der Arbeitsgruppe Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen angebotenen Spezialisierungssequenzen finden Sie hier (Broschüre als PDF-Datei) und hier (Web-Seite).

Geplante Fortsetzung im Sommersemester 2008: Differentialgleichungen II (4+2 SWS), insbesondere zur schwachen Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

Voraussetzungen: möglichst: Analysis I, II, III und Lineare Algebra I,II; insbesondere lineare Räume und Abbildungen, der Banachsche Fixpunktsatz, die Behandlung linearer Differentialgleichungssysteme, Meßbarkeit und das Lebesguesche Integral sowie der Brouwersche Fixpunktsatz 

Kriterien für einen unbenoteten Übungsschein: erfolgreiche Mitarbeit in den Tutorien, regelmäßige Bearbeitung der Hausaufgaben, sowie 50% der Punkte aus den
ersten sieben und 50% der Punkte aus den zweiten sieben Übungsblättern. 

Prüfungsmodalitäten: Im Anschluß an die Vorlesungszeit werden Termine für mündliche Prüfungen angeboten.

Literatur: Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an

E. Emmrich. Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen: Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. Vieweg, 2004.
W. Walter. Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. Springer, Berlin, 7. Auflage, 2000.

Außerdem ist das Vorlesungsskript von Frau Prof. Dr. P. Wittbold zu empfehlen.

In der Mathematischen Fachbibliothek gibt es einen Semesterapparat mit einigen weiteren Titeln.

Weitere Literaturempfehlungen   

    ... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zur Numerik partieller Differentialgleichungen finden Sie hier (als PDF-Datei)
    ... zur Biomathematik finden Sie hier (als PDF-Datei)

Inhalt (voraussichtlich):

0 Einführung: Anwendungsbeispiele und Typen von Differentialgleichungsproblemen
1 Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
   1.1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
   1.2 Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
   1.3 Das Charakteristikenverfahren für quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
   1.4 Grundtypen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
2 Existenz und Einzigkeit bei Anfangswertproblemen für gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen
   2.1 Integral für stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen mit Werten in einem Banach-Raum
   2.2 Der Satz von Picard-Lindelöf: Lokale und globale eindeutige Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Operator-Differentialgleichungen
   2.3 Lineare Systeme mit beschränkten Operatoren
   2.4 Der Satz von Peano über die lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für endlichdimensionale Systeme und eine Verallgemeinerung auf Operator-Differentialgleichungen
   2.5 Einzigkeitsaussagen
   2.6 Verlauf der Lösungen im Großen und maximal fortgesetzte Lösungen
   2.7 Zur Existenz und Einzigkeit von Lösungen im Sinne von Carathéodory
3 Abhängigkeit der Lösungen von den Daten, Stabilität, Zeitdiskretisierung
   3.1 Stetige und differenzierbare Abhängigkeit der Lösungen von den Daten. Das Gronwallsche Lemma.
   3.2 Dissipative Systeme
   3.3 Zeitdiskretisierung durch einfache Einschrittverfahren
   3.4 Stabilität und der Satz von Ljapunov. Asymptotisches Verhalten
4 Klassische Lösbarkeit von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung
   4.1 Grundbegriffe und elementare Aussagen
   4.2 Randwertprobleme für homogene, lineare Differentialgleichungen
   4.3 Greensche Funktion und semilineare Probleme I
   4.4 Greensche Funktion und inhomogene, lineare Probleme
   4.5 Maximumprinzip und Stabilität
   4.6 Sturm-Liouville-Problem
   4.7 Greensche Funktion und semilineare Probleme II
   4.8 Ober- und Unterlösungen

Prüfungsthemen

 Das Reduktionsverfahren aus dem Tutorium
 Tutoriumsblatt zu Richtungsfeld/Isoklinen.

Übungsblätter (pdf): Es wird in der nächsten Woche ein 15. Blatt mit einer oder zwei Zusatzaufgaben geben.
 

Infoblatt	Blatt 1	Blatt 2	Blatt 3	Blatt 4
Blatt 5	Blatt 6	Blatt 7	Blatt 8	Blatt 9 / Osgood
Blatt 10	Blatt 11	Blatt 12	Blatt 13	Blatt 14
Blatt 15 (Zusatzblatt)

Software:

Für die numerische Lösung von Differentialgleichungsproblemen empfehlen wir das Programmpaket MATLAB von The Math Works, Inc. Es bietet eine einfach zu bedienende, sehr effiziente Programmierumgebung. Alternativ kann auch Mathematica genutzt werden.

Informationen zu MATLAB:

• Info-Blatt und ein Beispiel zur Lösung eines Anfangswertproblems (pdf-File)
• MATLAB - Eine freundliche Einführung (pdf-File)
• Kurzanleitung (pdf-File)
• A Practical Introduction (html)
• MATLAB Primer (pdf-File)

Informationen zu SCILAB:

• SCILAB-Homepage
• SCILAB-Einführung (pdf-File)
• Besondere Hinweise zur Einrichtung von SCILAB