Hausaufgaben vom 07.12.05

(zum 14.12.2005)

 

  1. Wieviele 6-stellige Zahlen gibt es, bei denen jede Ziffer kleiner als die darauffolgende ist?

  2. Zeige, dass für jede natürliche Zahl n die Zahl

    (1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n

    ganz ist.

  3. Der König hat alle Weisen seines Königreichs zusammengerufen und ihnen die folgende Aufgabe gestellt. Am nächsten Tag sollen sie sich in einem Saal versammeln. Jedem von ihnen wird dann eine Kappe auf den Kopf gesetzt - entweder eine blaue oder eine rote. Jeder Weise wird nur die Kappen der anderen sehen können. Danach muss jeder Weise versuchen, die Farbe der eigenen Kappe zu erraten. Wenn mehr als einer falsch rät, werden sie alle hingerichtet. Die Weisen haben noch Zeit bis zum Sonnenaufgang und können verabreden, wie sie handeln werden. Können sie es so tun, dass sie die Prüfung mit Sicherheit bestehen?