Hausaufgaben vom 23.11.05

(zum 30.11.2005)

 

  1. Zeige für jede positive Zahl n:
    1/(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})> 2 \sqrt{n}
    (wobei \sqrt{n} Quadratwurzel von n ist).

  2. Auf dem Wunderbaum gibt es 100 Orangen und 99 Bananen. Ein Affe pflückt jeden Tag zwei Früchte. Wenn es zwei gleiche Früchte sind, wächst am nächsten Tag eine neue Orange auf dem Wunderbaum; wenn es zwei unterschiedliche Früchte sind, dann wächst eine Banane. Irgendwann wird es auf dem Wunderbaum nur eine Frucht geben. Welche?

  3. Zeige: \sqrt{2 + \sqrt{2}} < 2, \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} < 2, und allgemein

    \sqrt{2 + \sqrt{2 + ... \sqrt{2}}} < 2

    mit n Zweien auf der linken Seite.