Hausaufgaben vom 16.11.05

(zum 23.11.2005)

1. Zeige, dass das quadratische Mittel, die Wurzel aus (a^2 + b^2)/2, größer oder gleich dem arithmetischen Mittel (a+b)/2 ist:
   
   
2. Es wäre ja ganz einfach die Brüche so zu addieren: a/b+ c/d = (a+c)/(b+d).
   Zeige: falls die Zahlen a,b,c,d positiv sind, liegt das Ergebnis zwischen a/b und c/d.
   
   
3. Zeige, dass das Verhältnis zwischen den benachbarten Fibonacci-Zahlen (F_1 = F_2 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}) eine gute Annäherung für den goldenen Schnitt ist. Und zwar:

   a) Berechne die Zahl F_{n+1}/F_n für irgendein großes n und vergleiche sie mit dem goldenen Schnitt G=(\sqrt{5} + 1)/2;

   b) Zeige, dass F_{n+2}/F_{n+1} zwischen F_{n+1}/F_n und F_n/F_{n-1} liegt;

   c) Zeige, dass die Zahlen F_{n+1}/F_n und F_n/F_{n-1} sich immer näher kommen, wenn n wächst:
   
   F_{n+1}/F_n - F_n/F_{n-1} = 1/(F_n F_{n-1}), für n gerade und, = -1/(F_n F_{n-1}), für n ungerade
   
   

   d) Zeige, dass für n gerade F_{n+1}/F_n> G und für n ungerade F_{n+1}/F_n< G gilt.