Hausaufgaben vom 24.08.05

(zum 31.08.2005)

 

  1. Hier ist die Legende über den Turm von Hanoi (erfunden 1883 vom französischen Mathematiker Edouard Anatole Lucas).

    ``In einem buddhistischen Tempel im Zentrum der Welt ruht eine Messingplatte, in der drei Diamantnadeln befestigt sind. Bei der Erschaffung der Welt hat Buddha vierundsechzig Scheiben aus purem Gold auf eine der Nadeln gesteckt, wobei die größte Scheibe auf der Messingplatte ruht, und die übrigen, immer kleiner werdend, eine auf der anderen. Tag und Nacht sind die Priester unablässig damit beschäftigt, die Scheiben von einer Diamantnadel auf eine andere zu setzen, wobei nur jeweils eine Scheibe auf einmal umgesetzt werden darf, und zwar so, dass sich nie eine kleinere Scheibe unter einer größeren befindet. Sobald alle vierundsechzig Scheiben auf eine der anderen Nadeln gebracht sein werden, werden der Turm samt dem Tempel und allen Brahmanen zu Staub zerfallen, und die Welt wird mit einem Donnerschlag untergehen.''

    Angenommen, dass jede Sekunde eine Scheibe umgesetzt wird, berechne die Zeit bis zum Weltuntergang.


  2. Zeige:

    1+3+3^2+ ... + 3^n = (3^{n+1} - 1)/2

  3. Von n Punkten sind je zwei durch eine Strecke verbunden. Für welche n kann man die Strecken so in Paaren aufteilen, dass die Strecken in jedem Paar ein gemeinsames Ende haben?