Hausaufgaben vom 09.02.05

(zum 16.02.2005)

1. Zeige, dass der Abstand zwischen zwei Punkten, die in einem Dreieck liegen, kleiner als die Hälfte des Umfanges des Dreiecks ist.
   
   
2. Zeige, dass die Summe der fünf Diagonalen eines konvexen Fünfeckes größer als seinen Umfang und kleiner als sein
   doppelter Umfang ist.
   
   
3. Es gibt zwei Kisten mit 20 bzw. 30 Steinen. Zwei Spieler ziehen abwechselnd Steine aus den Kisten. Man darf beliebig viele Steine nehmen, aber nur aus einer Kiste auf einmal. Wer den letzten Stein nimmt, hat gewonnen. Wer gewinnt bei der richtigen Strategie?
   
   
4. Zeige, dass man aus 10 ganzen Zahlen immer einige auswählen kann, so dass ihre Summe durch 10 teilbar ist.